Obsessive robot (bluxer) wrote,
Obsessive robot
bluxer

Categories:
В ПОИСКАХ СПРАВЕДЛИВОСТИ: ЗАДАЧА О РАЗДЕЛЕ СТАВОК

В обширной математической энциклопедии «Сумма арифметики, геометрии, отношений и пропорций» итальянца Луки Пачоли (1494) содержатся оригинальные задачи на тему: как разделить ставку между двумя игроками, если серия игр прервана досрочно. Пример подобной задачи: игра идёт до 60 очков, победитель получает всю ставку в 22 дуката, в ходе игры первый игрок набрал 50 очков, второй — 30, и тут игру пришлось прекратить; требуется справедливо разделить исходную ставку. Решение зависит от того, что понимать под «справедливым» разделом; сам Пачоли предложил делить пропорционально набранным очкам (55/4 и 33/4 дуката); позднее его решение было признано ошибочным

Паскаль и Ферма вступили в переписку друг с другом по поводу данной задачи и родственных вопросов (1654). В рамках этой переписки учёные обсудили ряд проблем, связанных с вероятностными расчётами; в частности, рассматривалась старая задача о разделе ставки, и оба учёных пришли к решению, что надо разделить ставку соответственно остающимся шансам на выигрыш.

Гюйгенс проанализировал и задачу о разделе ставки, дав её окончательное решение: ставку надо разделить пропорционально вероятностям выигрыша при продолжении игры.



Представим себе игру вроде бросания монеты: вероятность выигрыша 50/50 (или/или), третий вариант (ничья) не предусмотрен.
Допустим, игра продолжается до 8 побед одного из игроков. Призовой фонд («банк») = 8000 рублей. Игроками внесены одинаковые ставки. На момент, когда первый игрок выиграл 7 партий, а второй 5, игра внезапно прекращается. Как разделить ставки?

Исходя из принятого в последние 300 лет мнения, ответ:
первому: 8000*0,875=7000 р.,
второму: 8000*0,125=1000 р.

Как объяснить решение с точки зрения здравого смысла? Я вижу три варианта (два подсмотрел у других, третий сформулировал для себя сам).

Вариант 1:
Второму игроку надо еще выиграть 3 игры, вероятность чего равна = 1/2*1/2*1/2=0,125.
В этом случае не совсем понятно, что делать с первым (у него-то вероятность 0,5, так как ему надо выиграть всего одну игру), но поскольку все, что не ведет к выигрышу второго, неизбежно ведет к выигрышу первого, получаем: 1-0,125=0,875.

Вариант 2:
Вообразим, что игра продолжается и нарисуем "дерево" ее возможных последовательных состояний:

Раздел ставок.jpg

Вероятность для второго игрока попасть в нужное состояние: (1/2)3=0,125.
Для первого: 1/2+(1/2*1/2)+(1/2*1/2*1/2)=0,875.


Вариант 3:
Представим себе возможные "сценарии".
Минимальное количество игр – 1, максимальное – 3 (опять-таки потому что ничья не предусмотрена).

При проведении трех игр число мыслимых сценариев = 8 (23), но исходя из условий задачи, возможны только 4 сценария.
Обозначим:
1 – первый игрок выигрывает,
0 – второй игрок выигрывает.

1– –      1/2, что выигрывает первый.
0 1 –     1/2*1/2, что выигрывает первый.
0 0 1     1/2*1/2*1/2, что выигрывает первый.
0 0 0     1/2*1/2*1/2, что выигрывает второй.

Таким образом, у нас есть 3 сценария, благоприятствующих первому (0,875), и только один – второму (0,125).


Ну, а что случается иногда с играми, где предусмотрена ничья? История знает...
Если процесс нельзя закончить, его можно прекратить.
Tags: Околоматематика, Причинность, Экономика
Subscribe

  • (no subject)

    Схема увидена в журнале flamaquaron: А я как раз на днях думал, пока шел по улице, что фантастика - это такой, эээ... своеобразный…

  • (no subject)

    Если женщина к вам неровно дышит, а взаимности нет и не будет, то как её можно культурно послать тактично отвергнуть?.. У меня с недавних…

  • (no subject)

    КАЧЕЛИ, КАРУСЕЛИ И ВЕЧНОЕ ВОЗВРАЩЕНИЕ Вечное возвращение — один из основополагающих и в то же время наименее проясненных концептов философии жизни…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic
    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 13 comments

  • (no subject)

    Схема увидена в журнале flamaquaron: А я как раз на днях думал, пока шел по улице, что фантастика - это такой, эээ... своеобразный…

  • (no subject)

    Если женщина к вам неровно дышит, а взаимности нет и не будет, то как её можно культурно послать тактично отвергнуть?.. У меня с недавних…

  • (no subject)

    КАЧЕЛИ, КАРУСЕЛИ И ВЕЧНОЕ ВОЗВРАЩЕНИЕ Вечное возвращение — один из основополагающих и в то же время наименее проясненных концептов философии жизни…